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贾宪三角

2015/3/24 18:43:07 人评论 次浏览

贾宪三角


一、展品科学原理

本展品通过互动操作为大家展示数学中著名的贾宪三角形的相关原理。贾宪三角形又称为杨辉三角形和帕斯卡三角。

大家都知道数字1对于数学计算来说非常有用,那么数字11呢?其实它也非常有趣。同样有趣的还有11乘以11=121,11乘以11乘以11=1331,以及11的更高阶幂。将它们排列起来,我们将得到

11

121

1331

14641

15101051,这正是贾宪三角形。但是我们是在哪里找到它的呢?为了让它更加完整,我们加入了11的0次幂=1。现在我们要忘掉每三位数字间的间隔,并且在所有数字之间加上间隔因此14641变成了1 4 6 4 1。

             1

1            1

             1   2   1

           1   3   3   1

         1   4   6   4   1

       1   5   10  10  5   1

因为它的对称性和内在的联系,贾宪三角形在数学中非常著名。它是中国北宋数学家贾宪所首创,西方称之为帕斯卡三角形,其实贾宪发现它要比西方早600多年。贾宪三角形的图案从顶部向下衍生,从一个1开始,在下一行里,它的两边各放置一个1。要构造更多行,我们需要在每一行的两端放置1,而中间的数字可以由它上边的两个数相加直接得到。例如第五行中的6,我们是通过上一行中的3+3得到。

另外,如果我们将贾宪三角形中各行的数字加起来,则每一行的结果都是一个2的幂。例如,对于第五行,1+4+6+4+1=16=2的4次幂。

贾宪三角形最明显的性质是它的对称性。如果我们在中间画一条垂直的线,贾宪三角形的数字将“镜面对称”——垂直线左右两边的数完全一样。如果我们将斜穿三角形的直线(不是行,也不是对角线)上的数相加,可以得到序列1、2、5、13、34……每一个数都是前面那个数的三倍再减去再前面的一个数。例如34=13乘以3-5。根据这个规律,序列的下一个数是3乘以34-13=89。

二、展品相关知识内容

元初,朱世杰把贾宪三角由七层推广到九层,为高阶等差级数求和问题和高次招差法的发展提供了有力依据,贾宪三角对宋元数学的发展起到很大的作用。